Question

如图，已知圆O₁与圆O₂外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A、B两点，AC是圆O₁的直径，过C作圆O₂的切线，切点为D．
（Ⅰ）求证：C，P，B三点共线；
（Ⅱ）求证：CD=CA．

Answer 1

（Ⅰ）连接PC，PA，PB，
∵AC是圆O₁的直径，∴∠APC=90°，
作⊙O₁与⊙O₂的内公切线MP交AB与点M．
又∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，
∴∠BAP=∠MPA，∠MPB=∠MBP，
∵∠BAP+∠APB+∠ABP=180°，
∴∠MPA+∠MPB=∠APB=90°，
∴∠CPB=180°．
∴C，P，B三点共线．
（Ⅱ）∵CD切圆O₂于点D，∴CD²=CP•CB．
在△ABC中，∠CAB=90°，又∵AP⊥BC，∴CA²=CP•CB．
故CD=CA．