Question

4．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{5}{4}sin（{\frac{π}{2}x}）（{0≤x≤1}）\\{（{\frac{1}{4}}）^x}+1（{x＞1}）\end{array}\right.$若关于x的方程5[f（x）]²-（5a+6）f（x）+6a=0（a∈R）有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（0，1）∪{$\frac{5}{4}$}．

Answer 1

分析 解方程可得f（x）=a或f（x）=$\frac{6}{5}$，作出f（x）的函数图象，根据图象判断a的范围．

解答 解：作出f（x）的函数图象如图所示：

令f（x）=t，则由图象可得：
当t=0时，方程f（x）=t只有1解；
当0＜t＜1或t=$\frac{5}{4}$时，方程f（x）=t有2解；
当1$＜t＜\frac{5}{4}$时，方程f（x）=t有4解；
∵5[f（x）]²-（5a+6）f（x）+6a=0，
∴f（x）=$\frac{6}{5}$或f（x）=a，
∵f（x）=$\frac{6}{5}$有4解，
∴f（x）=a有两解，
∴0＜a＜1或a=$\frac{5}{4}$．
故答案为：（0，1）∪{$\frac{5}{4}$}．

点评 本题考查了方程根的个数与函数图象的关系，属于中档题．