Question

14．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足（$\frac{5}{4}$c-a）cosB=bcosA．
（1）若sinA=$\frac{2}{5}$，a+b=10，求a；
（2）若b=3$\sqrt{5}$，a=5，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知可得$\frac{5}{4}$sinCcosB=sinC，由sinC＞0，解得cosB=$\frac{4}{5}$，可求sinB，又sinA=$\frac{2}{5}$，利用正弦定理及比例的性质结合a+b=10，即可解得a的值．
（2）利用余弦定理可求c的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：∵（$\frac{5}{4}$c-a）cosB=bcosA．
∴由正弦定理可得：（$\frac{5}{4}$sinC-sinA）cosB=sinBcosA，
即有：$\frac{5}{4}$sinCcosB=sinAcosB+cosAsinB，则$\frac{5}{4}$sinCcosB=sinC，
∵sinC＞0，
∴cosB=$\frac{4}{5}$…4分
（1）∵cosB=$\frac{4}{5}$，
∴sinB=$\frac{3}{5}$，∵sinA=$\frac{2}{5}$，∴$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}=\frac{2}{3}$，
又a+b=10，解得：a=4…7分
（2）∵b²=a²+c²-2accosB，b=3$\sqrt{5}$，a=5，
∴45=25+c²-8c，即：c²-8c-20=0，解得：c=10或-2（舍去），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=15…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，比例的性质，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．