Question

9．已知直线2ax-by+14=0（a＞0，b＞0），且该直线上的点A（-1，2）始终落在圈（x-a+1）²+（y+b-2）²=25的内部或圆上，则$\frac{b}{a}$的取值范围为[$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 点A（-1，2）代入直线方程，及圆的方程，再换元，转化为t的不等式，即可求出$\frac{b}{a}$的取值范围．

解答 解：点A（-1，2）代入直线2ax-by+14=0可得-2a-2b+14=0，
即a+b=7．
∵定点始终落在圆（x-a+1）²+（y+b-2）²=25的内部或圆上，
∴a²+b²≤25
设$\frac{b}{a}$=t，
则b=at，代入a+b=7，
∴a=$\frac{7}{1+t}$
代入a²+b²≤25可得（1+t²）（$\frac{7}{1+t}$）²≤25，
∴12t²-25t+12≤0，
∴$\frac{3}{4}$≤t≤$\frac{4}{3}$．
故答案为：[$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题考查点与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查解不等式，属于中档题．