Question

6．已知cos（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，sin（α+β）=$\frac{4}{5}$，其中0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π．
（1）求sin2β的值；
（2）求cos（α+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得sin2β=cos2（β-$\frac{π}{4}$）的值．
（2）先利用同角三角函数的基本关系求得sin（β-$\frac{π}{4}$）和cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos（α+$\frac{π}{4}$）=cos[（α+β）-（β-$\frac{π}{4}$）]的值．

解答 解：（1）∵cos（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，sin（α+β）=$\frac{4}{5}$，其中0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，
sin2β=cos2（β-$\frac{π}{4}$）=2${cos}^{2}（β-\frac{π}{4}）$-1=-$\frac{7}{9}$．
（2）∵cos（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，sin（α+β）=$\frac{4}{5}$，其中0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴β-$\frac{π}{4}$为锐角，α+β为钝角，∴sin（β-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（β-\frac{π}{4}）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
cos（α+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+β）}$=-$\frac{3}{5}$，
cos（α+$\frac{π}{4}$）=cos[（α+β）-（β-$\frac{π}{4}$）]=cos（α+β）•cos（β-$\frac{π}{4}$）+sin（α+β）•sin（β-$\frac{π}{4}$）
=-$\frac{3}{5}$•$\frac{1}{3}$+$\frac{4}{5}$•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{8\sqrt{2}-3}{15}$．

点评 本题主要考查二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．