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如图,在三棱锥中,,设顶点在底面上的射影为

(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)设点在棱上,且,试求二面角的余弦值.

(1)根据题意,由于已知条件可知平面,那么利用线面垂直的性质定理得到。
(2)

解析试题分析:证明:(I)方法一:由平面
,则平面
,  2分
同理可得,则为矩形,又
为正方形,故.  4分
方法二:由已知可得,设的中点,则,则平面,故平面平面,则顶点在底面上的射影必在,故
(II)方法一:由(I)的证明过程知平面,过,垂足为,则易证得,故即为二面角的平面角, 7分
由已知可得,则,故,则
,则,  9分
,即二面角的余弦值为. 11分
方法二: 由(I)的证明过程知为正方形,如图建立坐标系,


可得, 7分
,易知平面
的一个法向量为,设平面的一个法向量为
,则由, 9分
,即二面角的余弦值为. 11分
考点:线面垂直的性质定理以及二面角的大小
点评:主要是考查了线面垂直以及二面角的平面角的求解的运用属于基础题。

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,正方形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直,分别是的中点.
 
(1)求证:面
(2)求直线与平面所成的角正弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点.

(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD;
(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在四棱柱

(I)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);
(II)若M为PA的中点,求证:求二面角
(III)求三棱锥的体积.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,已知为平行四边形所在平面外一点,的中点,
求证:平面

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点.

(1)求证:BD⊥FG;
(2)确定点G在线段AC上的位置,使FG//平面PBD,并说明理由.
(3)当二面角B—PC—D的大小为时,求PC与底面ABCD所成角的正切值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

在如图所示的多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,
且AC=AD=CD=DE=2,AB=1.

(Ⅰ)请在线段CE上找到点F的位置,使得恰有直线BF∥平面ACD,并证明这一事实;
(Ⅱ)求多面体ABCDE的体积.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

在长方体中,,过三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体,且这个几何体的体积为

(1)求棱的长;
(2)求点到平面的距离.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,E、F分别在BC、AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使得平面ABEF平面EFDC.

(Ⅰ) 当,是否在折叠后的AD上存在一点,且,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(Ⅱ) 设BE=x,问当x为何值时,三棱锥ACDF的体积有最大值?并求出这个最大值.

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