Question

12．用数学归纳法证明：1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜n（n＞1，n∈N^*），在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$．

Answer 1

分析 分别把n=k和n=k+1代入不等式左边，比较两式即可得出结论．

解答 解：n=k时，不等式左边为1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$，
当n=k+1时，不等式左边为1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$，
故增加的项为：$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$．
故答案为：$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$．

点评 本题考查了数学归纳法的步骤，属于基础题．