Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，且，为棱的中点，作交于点.

（1）证明：平面；

（2）若面与面所成二面角的大小为，求与面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见详解；(2).

【解析】

（1）先证，结合已知条件，即可求证；

（2）建立空间直角坐标系，由二面角大小求得长度，再用线面角的定义即可求解.

（1）因为平面，平面，故；

又因为四边形为矩形，故可得；

又平面，且，

故可得平面；

又因为平面，故可得，

又因为，为中点，故，

结合平面，，

故可得平面，

又因为平面，则.

由题可知，又平面，，

即证平面.

（2）因为平面，且底面为矩形，

故可得两两垂直.

则以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

如下图所示：

不妨设，故可得

，

由（1）中所得可知为平面的法向量，

容易知是平面的一个法向量.

又因为面与面所成二面角的大小为，

故可得，解得.

又因为平面，故可得即为所求.

在中，.

故与面所成角的正弦值为.