Question

【题目】已知函数，为的导数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在上恒成立，求整数的最大值.

Answer 1

【答案】(1)函数单调性见详解；(2).

【解析】

（1）求导，对参数进行分类讨论，即可判断函数的单调性；

（2）分离参数，将问题转化为函数最值的问题，利用导数求函数单调性和最值即可.

（1）因为，

故可得，

故可得，令，

故可得.

当，即时，恒成立，

故，则单调递减；

当，即时，有两根，

,

当时，，

故可得在区间上恒成立，在区间上恒成立，

故在区间上单调递减，在上单调递增.

当时，，

故可得在区间上恒成立，在区间上恒成立，

故在上单调递减，在单调递增.

当时，，

故可得在区间上恒成立，在区间上恒成立，

故在区间单调递增，在单调递减.

综上所述：

当时，在单调递减；

当时，在区间上单调递减，在上单调递增；

当时，在区间单调递增，在单调递减.

（2）因为在上恒成立，

等价于，令，

则要满足题意，只需

故可得，令，

故可得，故在区间单调递增.

又，

故存在，使得，即

故在区间恒成立，在区间恒成立，

即在区间单调递减，在单调递增.

故，

因为，故可得，

又因为，故整数的最大值为.