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    【题目】“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.

    （Ⅰ）求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）和年龄的中位数（保留一位小数）；

    （Ⅱ）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中的概率；

    （Ⅲ）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．

    【答案】（Ⅰ）平均年龄为 （岁）．中位数为42.1岁（Ⅱ）（Ⅲ）分布列见解析，

    【解析】

    （Ⅰ）由频率分布直方图能求出，由此能求出这200人年龄的样本平均数和中位数．

    （Ⅱ）第1，2组抽取的人数分别为2人，3人．设第2组中恰好抽取2人的事件为，利用排列组合能求出事件的概率．

    （Ⅲ）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保护问题的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．

    解：（Ⅰ）由，得，

    平均年龄为 （岁）．

    设中位数为x岁，则，解得，

    故这200人年龄的中位数为42.1岁

    （Ⅱ）易知从第1，2组中抽取的人数分别为2，3，

    设“抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中”为事件A，

    则

    （Ⅲ）从所有参与调查的人员中任意选出1人，则其关注生态文明建设的概率为.

    由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，

    所以X的分布列为

    X

    0

    1

    2

    3

    P

    因为，所以

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    （1）求的值；

    （2）如果圆的方程为，且点在圆内部，设直线与相交于，两点，求的最小值．

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    （1）求发酵池边长的范围；

    （2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道（为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.

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    （1）当时，求函数在上的单调性；

    （2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为3，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

    （3）当，求证:.

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    【题目】如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，，，，点为的中点.

    （1）求证：平面；

    （2）求证：；

    （3）求二面角的余弦值.

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    【题目】已知函数，其中、是非空数集，且，设，；

    （1）若，，求；

    （2）是否存在实数，使得，且？若存在，请求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由；

    （3）若，且，，是单调递增函数，求集合、；

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    【题目】如果一个实数数列满足条件：(为常数，，则这一数列为“伪等差数列”，称“伪公差”.给出下列关于某个伪等差数列的结论：其中正确的结论是__________________.

    ①对于任意的首项，若，则这一数列必为有穷数列；

    ②当时，这一数列必为单调递増数列；

    ③这一数列可以是周期数列；

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    【题目】已知函数

    （1）若a=1，求f（x）的极值；

    （2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．

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    【题目】某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示.

    （1）试估计该校学生在校月消费的平均数；

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    （i）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为，求的分布列及数学期望.

    （ii）若校服务部计划每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，估计受资助的学生每人每月可获得多少元？

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