Question

20．已知函数$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$，若f（x）满足f（x+π）=-f（x），且$f（0）=\frac{1}{2}$，则函数h（x）=2cos（ωx+φ）在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域为（　　）

• A． $[{-1，\sqrt{3}}]$
• B． $[{-2，\sqrt{3}}]$
• C． $[{-\sqrt{3}，2}]$
• D． $[{1，\sqrt{3}}]$

Answer 1

分析 利用正弦函数的图象和性质求得f（x）的解析式，可得h（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域求得函数h（x）在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域．

解答 解：∵函数$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$ 满足f（x+π）=-f（x），∴f（x+2π）=f（x），故f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=2π，
∴ω=1，f（x）=sin（x+φ）．
∵$f（0）=\frac{1}{2}$=sinφ，即sinφ=$\frac{1}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）．
则函数h（x）=2cos（ωx+φ）=2cos（x+$\frac{π}{6}$），在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上，x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴cos（x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴h（x）=2cos（x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\sqrt{3}$]，
故选：A．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．