Question

9．在直角坐标系xOy 中，F，A，B 分别为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$ 的右焦点、右顶点和上顶点，若$OF=FA，{S_{△FAB}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
（1）求a的值；
（2）过点P（0，2）作直线l 交椭圆于M，N 两点，过M 作平行于x 轴的直线交椭圆于另外一点Q，连接NQ
，求证：直线NQ 经过一个定点．

Answer 1

分析 （1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{c=a-c}\\{\frac{1}{2}（a-c）=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={c}^{2}+{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得a；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线l 的方程为y=kx+2，将y=kx+2 代入椭圆方程得（3+4k²）x²+16kx+4=0，${x_1}+{x_2}=\frac{-16k}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{4}{{3+4{k^2}}}$，直线NQ 的方程$y-{y_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}（x+{x_1}）$，由对称性可知，若过定点，则必在y 轴上，令x=0，即可．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{c=a-c}\\{\frac{1}{2}（a-c）=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={c}^{2}+{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴a的值为2；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线l 的方程为y=kx+2，
则Q（-x₁，y₁），
将y=kx+2 代入椭圆方程得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
${x_1}+{x_2}=\frac{-16k}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{4}{{3+4{k^2}}}$，
直线NQ 的方程$y-{y_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}（x+{x_1}）$，
由对称性可知，若过定点，则必在y 轴上，
令x=0，得$y-{y_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}{x_1}$，$y=\frac{{{x_2}{y_1}+{x_1}{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{{2k{x_1}{x_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}+2=\frac{3}{2}$，
所以直线NQ 经过定点（0，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，直线过定点问题，属于中档题．