Question

14．如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=$\frac{π}{2}$，∠B=$\frac{2π}{3}$，AB=6．在AB边上取点E使得BE=1，连结EC，ED，若∠CED=$\frac{2π}{3}$，EC=$\sqrt{7}$．则CD=7．

Answer 1

分析 在△CBE中，由余弦定理得CE²=BE²+CB²-2BE•CBcos120°，得CB．由余弦定理得CB²=BE²+CE²-2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC⇒sin∠BEC、cos∠AED在直角△ADE中，求得DE=2$\sqrt{7}$，在△CED中，由余弦定理得CD²=CE²+DE²-2CE•DEcos120°即可

解答 解：在△CBE中，由余弦定理得CE²=BE²+CB²-2BE•CBcos120°，
即7=1+CB²+CB，解得CB=2．
由余弦定理得CB²=BE²+CE²-2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
⇒sin∠BEC=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
sin∠AED=sin（120⁰+∠BEC）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{7}}{7}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{21}}{7}=\frac{\sqrt{21}}{14}$，
⇒cos∠AED=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．
在直角△ADE中，AE=5，cos$∠AED=\frac{AE}{DE}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$，⇒DE=2$\sqrt{7}$，
在△CED中，由余弦定理得CD²=CE²+DE²-2CE•DEcos120°=49
∴CD=7．
故答案为：7

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题