Question

已知α为锐角，且tanα=

2

-1．若

m

=（4x，1），

n

=（cos²（α+

π

8

），tan2α），函数f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f（a_n），求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据向量的数量积公式即可求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）构造等比数列，利用等比数列的公式即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）

m

=（4x，1），

n

=（cos²（α+

π

8

），tan2α），函数f（x）=

m

•

n

．
则f（x）=4xcos²（α+

π

8

）+tan2α=2x[1+cos（2α+

π

4

）]+tan2α，
由tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=

2( 2 -1)

2( 2 -1)

=1，
∵α是锐角，∴2α=

π

4

，
即cos（2α+

π

4

）=0，
∴f（x）=2x+1．
（Ⅱ）∵a₁=1，a_n+1=f（a_n），
∴a_n+1=f（a_n）=2a_n+1，
即a_n+1+1=2（a_n+1），
则{a_n+1}是首项为a₁+1=1+1=2，公比q=2的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1．
数列{a_n}的前n项和S_n=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-2-n．

点评：本小题主要考查二倍角公式、降幂公式、向量的数量积、递推数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想，函数与方程思想．