Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，a_n+1=2S_n+2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}的各项均为正数，且b_n是

n

an

与

n

an+2

的等比中项，求b_n的前n项和为T_n；若对任意n∈N^*，都有T_n＞log_m2，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用公式S_n-S_n-1=a_n（n≥2），求通项公式即可；
（2）利用错位相减法得Tn=

3

8

-

2n+3

8×3n

，对任意n∈N^*，都有T_n＞log_m2，等价于（T_n）_min＞log_m2，解不等式即得结论．

解答： 解：（Ⅰ）当n≥2时，由a_n+1=2S_n+2，得a_n=2S_n-1+2，
两式相减得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，故

an+1

an

=3(n≥2)，
当n=1时，a₂=2S₁+2=2a₁+2=6，此时

a2

a1

=3，
故当n≥1时，

an+1

an

=3，则数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴an=2×3n-1…（6分）
（Ⅱ）bn=

n an × n an+2

=

n 2×3n-1 × n 2×3n+1

=

n

2×3n

…（8分）
所以Tn=

1

2

(

1

3

+

2

32

+…+

n

3n

)．
则2Tn=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

．①，则

2

3

Tn=

1

32

+

2

33

+

3

34

+…+

n

3n+1

．②
则①-②得：

4

3

Tn=

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

-

n

3n+1

=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

n

3n+1

=

1

2

-

2n+3

2×3n+1

．
所以Tn=

3

8

-

2n+3

8×3n

，由于T_n单调递增，则T_n的最小值为T1=

1

6

，
由logm2＜

1

6

，得

0＜m＜1 2＞m 1 6

或者

m＞1 2＜m 1 6

，解得0＜m＜1或者m＞64…（12分）

点评：本题考查利用公式法求数列通项公式及利用错位相减法求数列的和，考查恒成立问题的等价划归思想的运用能力，属难题．