Question

如图，圆O是等边三角形ABC的外接圆，点P在劣弧

BC

上，在CP的延长线上取PQ=PB．
（Ⅰ）求证：CQ=AP；
（Ⅱ）当点P是劣弧

BC

的中点时，求S_△ABC与S_△BPQ的比值．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：综合题,立体几何

分析：（Ⅰ）证明△ABP≌△CBQ，可得CQ=AP；
（Ⅱ）设AB=1，求出∠ABP=90°，∠APB=60°，可得BP，利用S_△ABC：S_△BPQ=AB²：BP²，可得结论．

解答： （Ⅰ）证明：∵A，B，C，P共圆，△ABC为等边三角形，
∴∠QPB=∠BAC=60°，AB=BC…（1分）
∵PQ=PB，∴△QPB为等边三角形，
∴∠Q=∠BPA=∠BCA=60°…（2分）
∴△ABP≌△CBQ…（3分）
∴CQ=AP；…（4分）
（Ⅱ）解：设AB=1，
∵点P是劣弧

BC

的中点，AB=AC，
∴∠ABP=90°，∠APB=60°，…（6分）
∴BP=

3

3

，…（8分）
∴S_△ABC：S_△BPQ=AB²：BP²=3…（10分）

点评：本题考查四点共圆，考查三角形全等的判断与运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．