Question

试证当n为正整数时，f（n）=3²ⁿ⁺²-8n-9能被64整除．

Answer 1

考点：整除的基本性质

专题：算法和程序框图

分析：证法一：利用数学归纳法即可证明；
证法二：利用二项式定理即可证明．

解答： 证法一：（1）当n=1时，f（1）=64，命题显然成立．
（2）假设当n=k（k∈N^*，k≥1）时，f（k）=3^2k+2-8k-9能被64整除．
当n=k+1时，由于3^2（k+1）+2-8（k+1）-9
=9（3^2k+2-8k-9）+9•8k+9•9-8（k+1）-9=9（3^2k+2-8k-9）+64（k+1），
即f（k+1）=9f（k）+64（k+1），∴n=k+1时命题也成立．
根据（1）、（2）可知，对于任意n∈N^*，命题都成立．
证法二：3²ⁿ⁺²-8n-9=9（8+1）ⁿ-8n-9
=9(8n+

C

1 n

8n-1+…+

C

n-1 n

8+

C

n n

)-8n-9
=9(8n+

C

1 n

8n-1+…+

C

n-2 n

82)+64n+64n，
∵各项均能被64整除，
∴3²ⁿ⁺²-8n-9能被64整除．

点评：本题考查了数学归纳法、二项式定理解决整除问题，属于中档题．