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    已知函数f（x）=
    .
    2cos(x-
    π
    2
    )    		sin2x
    2cos(x+
    π
    6
    )
    .
    ，（x∈R）
    （1）求f（x）的最小正周期及判断函数f（x）的奇偶性；
    （2）在△ABC中，f（A）=0，|
    AC
    |=m，m∈[2，4]．若对任意实数t恒有|
    AB
    -t
    AC
    |≥|
    BC
    |，求△ABC面积的最大值．
    考点：二阶矩阵,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法
    专题：三角函数的图像与性质
    分析：（1）结合行列式的运算性质和三角函数的公式，得到f（x）=
    		3
    sin（2x+
    π
    3
    ）-
    3
    2
    ．然后，结合三角函数的周期性和奇偶性的概念求解；
    （2）根据任意实数t恒有|
    AB
    -t
    AC
    |≥|
    BC
    |，求解得到BC⊥AC，然后，求解即可．
    解答： 解：（1）∵函数f（x）=
    .
    2cos(x-
    π
    2
    )    		sin2x
    2cos(x+
    π
    6
    )
    .

    =2cos（x-
    π
    2
    ）cos（x+
    π
    6
    ）-2sin2x
    =2sinxcos（x+
    π
    6
    ）-2sin2x
    =
    		3
    sinxcosx-3sin2x
    =
    		3
    2
    sin2x+
    3
    2
    cos2x-
    3
    2

    =
    		3
    sin（2x+
    π
    3
    ）-
    3
    2
    ．
    ∴f（x）=
    		3
    sin（2x+
    π
    3
    ）-
    3
    2
    ．
    ∴T=
    2π
    2
    =π，
    ∴f（-x）≠±f（x），
    ∴函数f（x）为非奇非偶函数；
    （2）∵f（A）=0，
    ∴f（A）=
    		3
    sin（2A+
    π
    3
    ）-
    3
    2
    =0．
    ∴sin（2A+
    π
    3
    ）=
    		3
    2
    ．
    ∵0＜A＜π，
    ∴
    π
    3
    ＜2A+
    π
    3
    ＜
    7π
    3
    ，
    ∴2A+
    π
    3
    =
    2π
    3
    ，
    ∴A=
    π
    6
    ，
    ∵对任意实数t恒有|
    AB
    -t
    AC
    |≥|
    BC
    |，
    ∴BC⊥AC，
    ∵|AB|=
    		4sin2x
    ，|AC|=m，
    ∴BC≤|
    AB
    -t
    AC
    |，
    ∴S△ABC=
    1
    2
    BC•AC≤
    8
    		3
    3
    ．
    ∴△ABC面积的最大值
    8
    		3
    3
    ．
    点评：本题重点考查了平面向量的应用、三角恒等变换公式、二倍角公式等知识，属于中档题．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点P（x，y）的坐标满足条件
    y≤3
    x+y≥4
    x-y≤1
    ，O是坐标原点，则|OP|的最小值为（　　）
    A、
    		10
    B、
    		34
    2
    C、5
    D、2
    		2

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    有6个房间安排4个旅游者住宿，每人可以随意进哪一间，而且一个房间也可以住多个人，求下列问题中各有多少种不同的住法？
    （1）每人随意选择，则所有的入住方法；
    （2）第1号房间有1人，第2号房间有3人；
    （3）指定的4个房间中各有1人；
    （4）恰有1个房间中有2人；
    （5）恰有2个房间中各有2人．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    		3
    sin（x-
    π
    6
    ）+cos（x-
    π
    6
    ）．
    （Ⅰ）当x∈A时，函数f（x）取得最大值或最小值，求集合A；
    （Ⅱ）将集合A中x∈（0，+∞）的所有x的值，从小到大排成一数列，记为{an}，求数列{an}的通项公式；
    （Ⅲ）令bn=
    π
    2
     
    an•an+1
    ，求数列{bn}的前n项和Tn．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    试证当n为正整数时，f（n）=32n+2-8n-9能被64整除．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    数列{an}满足：a1=6，an+1=an2+4an+2，（n∈N*）
    （Ⅰ）设Cn=log2（an+2），求证：{Cn}是等比数列；
    （Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅲ）设bn=
    1
    an-2
    -
    1
    a
    2
    n
    +4an
    ，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：
    7
    30
    ≤Tn＜
    1
    4
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知命题p：A={x|x2-2x-3＜0}，q：B={x|x2-2mx+m2-9＜0}．
    （1）若A∩B=（1，3），求实数m的值；
    （2）若?p是?q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若
    π
    4
    ＜α＜
    3π
    4
    ，0＜β＜
    π
    4
    且sin（α+
    π
    4
    ）=
    3
    5
    ，cos（
    π
    4
    +β）=
    5
    13
    ，求sin（α+β）的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=lnx+ex，g（x）=ex+
    1
    2
    x2-ax（a∈R）（e=2.71828…是自然对数的底数）
    （1）若F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的单调区间；
    （2）定义：若函数φ（x）在定义域为[m，n]（m＜n）上的值域为[m，n]，则称区间[m，n]为函数φ（x）的“同域区间”，当a=
    3
    2
    时，函数F（x）在区间（0，2）内是否存在“同域区间”？请说明理由；
    （3）当a＞1时，对于区间（2，3）内任意两个不相等的实数x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|成立，求a的取值范围．

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