Question

É躯Êýf£¨x£©=lnx+e^x£¬g£¨x£©=e^x+

1

2

x²-ax£¨a¡ÊR£©£¨e=2.71828¡­ÊÇ×ÔÈ»¶ÔÊýµÄµ×Êý£©
£¨1£©ÈôF£¨x£©=f£¨x£©-g£¨x£©£¬ÇóF£¨x£©µÄµ¥µ÷Çø¼ä£»
£¨2£©¶¨Ò壺Èôº¯Êý¦Õ£¨x£©ÔÚ¶¨ÒåÓòΪ[m£¬n]£¨m£¼n£©ÉϵÄÖµÓòΪ[m£¬n]£¬Ôò³ÆÇø¼ä[m£¬n]Ϊº¯Êý¦Õ£¨x£©µÄ¡°Í¬ÓòÇø¼ä¡±£¬µ±a=

3

2

ʱ£¬º¯ÊýF£¨x£©ÔÚÇø¼ä£¨0£¬2£©ÄÚÊÇ·ñ´æÔÚ¡°Í¬ÓòÇø¼ä¡±£¿Çë˵Ã÷ÀíÓÉ£»
£¨3£©µ±a£¾1ʱ£¬¶ÔÓÚÇø¼ä£¨2£¬3£©ÄÚÈÎÒâÁ½¸ö²»ÏàµÈµÄʵÊýx₁£¬x₂¶¼ÓÐ|f£¨x₁£©-f£¨x₂£©|£¾|g£¨x₁£©-g£¨x₂£©|³ÉÁ¢£¬ÇóaµÄÈ¡Öµ·¶Î§£®

Answer 1

¿¼µã£ºÀûÓõ¼ÊýÑо¿º¯ÊýµÄµ¥µ÷ÐÔ

רÌ⣺ж¨Òå,µ¼ÊýµÄ×ÛºÏÓ¦ÓÃ

·ÖÎö£º£¨1£©ÀûÓõ¼ÊýÇóº¯ÊýµÄµ¥µ÷Çø¼ä¼´¿É£»
£¨2£©¸ù¾Ý¡°Í¬ÓòÇø¼ä¡±µÄ¶¨ÒåµÃ³ö

F(m)=m F(n)=n

?·½³Ì2lnx-x²+x=0ÔÚ£¨0£¬2£©ÉÏ´æÔÚÁ½¸öÏàÒìµÄʵ¸ù£¬ÀûÓõ¼ÊýÖ¤Ã÷¼´¿É£»
£¨3£©ÓÉ£¨1£©µÃ|f£¨x₁£©-f£¨x₂£©|=f£¨x₂£©-f£¨x₁£©£¬Ôò|f£¨x₁£©-f£¨x₂£©|£¾|g£¨x₁£©-g£¨x₂£©|?f£¨x₂£©-f£¨x₁£©£¾|g£¨x₁£©-g£¨x₂£©|?f£¨x₁£©-f£¨x₂£©£¼g£¨x₁£©-g£¨x₂£©£¼f£¨x₂£©-f£¨x₁£©£¬¼´f£¨x£©-g£¨x£©ÔÚÇø¼ä£¨2£¬3£©µ¥µ÷µÝÔö£¬f£¨x£©+g£¨x£©ÔÚÇø¼ä£¨2£¬3£©µ¥µ÷µÝÔö£¬¼´[f£¨x£©-g£¨x£©]¡ä¡Ý0ÇÒ[f£¨x£©+g£¨x£©]¡ä¡Ý0£¬ÀûÓõ¼ÊýÁгö²»µÈʽ½âµÃ¼´¿É£®

½â´ð£º ½â£º£¨1£©ÓÉF£¨x£©=f£¨x£©-g£¨x£©µÃF£¨x£©=lnx-

1

2

x²+ax£¬
¡àF¡ä£¨x£©=

1-x2+ax

x

£¬ÓÉÌâÒâ¿ÉµÃF£¨x£©µÄ¶¨ÒåÓòΪ£¨0£¬+¡Þ£©£¬
ÁîF¡ä£¨x£©=0⇒x₁=

a- a2+4

2

£¬x₂=

a+ a2+4

2

£¬¿ÉµÃx₁£¼0£¬x₂£¾0£¬
ÁîF¡ä£¨x£©£¾0⇒0£¼x£¼

a+ a2+4

2

£¬¼´º¯ÊýF£¨x£©µÄµ¥µ÷µÝÔöÇø¼äΪ£¨0£¬

a+ a2+4

2

£©£¬
ÁîF¡ä£¨x£©£¼0⇒x£¾

a+ a2+4

2

£¬¼´º¯ÊýF£¨x£©µÄµ¥µ÷µÝ¼õÇø¼äΪ£¨

a+ a2+4

2

£¬+¡Þ£©£»
£¨2£©µ±a=

3

2

ʱ£¬F£¨x£©=lnx-

1

2

x²+

3

2

x£¬ÉèÆ䶨ÒåÓòΪ[m£¬n]£¨m£¼n£©£¬¼ÙÉè´æÔÚ¡°Í¬ÓòÇø¼ä¡±£¬ÇÒ¶ÔÓ¦µÄÖµÓòΪ[m£¬n]£¬
ÓÉ£¨1£©¿ÉÖªF£¨x£©ÔÚ£¨0£¬2£©Éϵ¥µ÷µÝÔö£¬¼´ÓÐ

F(m)=m F(n)=n

⇒

lnm- 1 2 m2+ 3 2 m=m lnn- 1 2 n2+ 3 2 n=n

£¬
¼°·½³Ìlnx-

1

2

x²+

3

2

x=xÔÚ£¨0£¬2£©ÉÏ´æÔÚÁ½¸öÏàÒìµÄʵ¸ù£¬
¼´·½³Ì2lnx-x²+x=0ÔÚ£¨0£¬2£©ÉÏ´æÔÚÁ½¸öÏàÒìµÄʵ¸ù£¬
ÁîT£¨x£©=2lnx-x²+x£¬ÔòT¡ä£¨x£©=

2

x

-2x+1£¬Áî¦Õ£¨x£©=T¡ä£¨x£©=

2

x

-2x+1£¬Ôò¦Õ¡ä£¨x£©=-

2

x2

-2£¬¼´¦Õ¡ä£¨x£©£¼0ºã³ÉÁ¢£¬
¡àº¯Êý¦Õ£¨x£©ÔÚ£¨0£¬2£©Éϵ¥µ÷µÝ¼õ£¬ÇÒ¦Õ£¨e^-1£©¨T2e+1-

2

e

£¾0£¬¦Õ£¨2£©=-2£¼0£¬
¼´ÔÚÇø¼ä£¨

1

e

£¬2£©ÉϱشæÔÚΨһµÄµãx₀¡Ê£¨

1

e

£¬2£©£¬Ê¹µÃ¦Õ£¨x₀£©=0£¬
µ±x¡Ê£¨

1

e

£¬x₀£©Ê±£¬¦Õ¡ä£¨x£©£¾0¼´T£¨x£©ÔÚ£¨

1

e

£¬2£©Éϵ¥µ÷µÝÔö£»
µ±x¡Ê£¨x₀£¬2£©Ê±£¬¦Õ¡ä£¨x£©£¼00¼´T£¨x£©ÔÚ£¨x₀£¬2£©Éϵ¥µ÷µÝ¼õ£»
ÓÖT£¨

1

e

£©=

e(-2e+1)-1

e2

£¼0£¬¦Õ£¨1£©=1£¾0£¬¡àx₀£¾1£¬¼´T£¨x£©ÔÚ£¨1£¬x₀£©µ¥µ÷µÝÔö£¬
T£¨x₀£©£¾T£¨1£©=0£¬T£¨2£©=2ln2-4+2=2ln2-2=2£¨ln2-1£©£¼0£¬
¡àº¯ÊýT£¨x£©=2lnx-x²+xÔÚÇø¼ä£¨

1

e

£¬2£©ÓÐÁ½¸ö²»ÏàµÈµÄ½â£¬
¼´·½³Ì2lnx-x²+x=0ÔÚ£¨0£¬2£©ÉÏ´æÔÚÁ½¸öÏàÒìµÄʵ¸ù£¬
¹Êº¯ÊýF£¨x£©ÔÚ£¨0£¬2£©ÉÏ´æÔÚ¡°Í¬ÓòÇø¼ä¡±£»
£¨3£©²»·ÁÉè2£¼x₁£¼x₂£¼3£¬ÓÉÌâÒâµÃf£¨x£©=lnx+e^xÔÚÇø¼ä£¨2£¬3£©µ¥µ÷µÝÔö£¬
ÔòÓÐ|f£¨x₁£©-f£¨x₂£©|=f£¨x₂£©-f£¨x₁£©£¬
¡à|f£¨x₁£©-f£¨x₂£©|£¾|g£¨x₁£©-g£¨x₂£©|?f£¨x₂£©-f£¨x₁£©£¾|g£¨x₁£©-g£¨x₂£©|
?f£¨x₁£©-f£¨x₂£©£¼g£¨x₁£©-g£¨x₂£©£¼f£¨x₂£©-f£¨x₁£©£¬
¼´f£¨x₁£©-g£¨x₁£©£¼f£¨x₂£©-g£¨x₂£©ÇÒf£¨x₁£©+g£¨x₁£©£¼f£¨x₂£©+g£¨x₂£©ºã³ÉÁ¢£¬
¹Êf£¨x£©-g£¨x£©ÔÚÇø¼ä£¨2£¬3£©µ¥µ÷µÝÔö£¬f£¨x£©+g£¨x£©ÔÚÇø¼ä£¨2£¬3£©µ¥µ÷µÝÔö£¬
¼´[f£¨x£©-g£¨x£©]¡ä¡Ý0ÇÒ[f£¨x£©+g£¨x£©]¡ä¡Ý0£¬
¡àÃüÌâת»¯ÎªÔÚÌõ¼þx¡Ê£¨2£¬3£©ÏÂÓÐ

1 x -x+a¡Ý0 1 x +2ex+x-a¡Ý0

ºã³ÉÁ¢£¬¼´

a¡Ýx- 1 x a¡Üx+ 1 x +2ex

⇒

8

3

¡Üa¡Ü

5

2

+2e²£®

µãÆÀ£º±¾ÌâÖ÷Òª¿¼²éÀûÓõ¼ÊýÅжϺ¯ÊýµÄµ¥µ÷ÐÔÇóµ¥µ÷Çø¼ä¼°Ð¸ÅÄîÌâ¡¢ºã³ÉÁ¢ÎÊÌâµÄ½â¾öÄÜÁ¦£¬¿¼²é»®¹é˼Ïë¡¢·ÖÀàÌÖÂÛ˼ÏëµÄÔËÓÃÄÜÁ¦£¬×ÛºÏÐÔÂß¼­ÐÔÇ¿£¬ÊôÄÑÌ⣮