Question

已知函数f（x）=2cosxcos（

π

6

-x）-

3

sin²x+sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）设x∈[-

π

3

，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，进而利用三角函数的性质求得函数最小正周期和单调增区间．
（2）根据x的范围确定2x+

π

3

的范围，进而利用三角函数的性质求得函数的最大和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cosxcos（

π

6

-x）-

3

sin²x+sinxcosx=

3

（cos²x-sin²x）+2sinxcosx=

3

cos2x+sin2x=2sin（2x+

π

3

）
∴函数最小正周期为T=

2π

2

=π，
由-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈z
∴单调增区间为(

-5π

12

+kπ，

π

12

+kπ)
（2）∵x∈[-

π

3

， 

π

2

]，
∴-

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
又f(x)=2sin(2x+

π

3

)，
∴f(x)∈[-

3

， 2]，
f（x）的值域为[-

3

， 2]．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．注重了对学生基本公式和性质的记忆和运用的考查．