Question

已知曲线f（x）=e^x+x
（1）求曲线在点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）若点Q为曲线y=f（x）上到直线y=2x-1距离最近的点，求点Q的坐标．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）欲求在点P（1，f（1））处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决；
（2）由题意，Q为平行于直线y=2x-1的曲线切线的切点．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x+x，
∴f′（x）=e^x+1，
∴f′（1）=e+1，
∵f（1）=e+1，
∴曲线在点P（1，f（1））处的切线方程为：y-e-1=（e+1）（x-1），即y=（e+1）x；
（2）由题意，Q为平行于直线y=2x-1的曲线切线的切点．
设Q（a，b），则f′（a）=e^a+1=2，∴a=0，
∴Q（0，1）．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．