Question

已知等差数列{a_n}中，公差d≠0，a₁=2，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=

1

an•an+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意列出方程，解得公差d，写出通项公式；
（Ⅱ）利用裂项相消法对数列求和即得结论．

解答： 解：（I）设数列{a_n}的公差为d
∵a₁，a₃，a₇成等比数列
∴

a

2 3

=a₁a₇，∴(a1+2d)2=a₁（a₁+6d）
又a₁=2，∴d=1或d=0（舍去）
∴a_n=2+（n-1）•1=n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．

点评：本题考查等差数列的性质及裂项相消法对数列求和，注意方程思想在解题中的运用，属中档题．