Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在偶函数f（x）=x²+bx的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=2ⁿ+a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据点与函数之间的关系求出b，利用a_n=S_n-S_n-1，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用分组求和法分别等比数列和等差数列的前n项和即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x²+bx是偶函数，
∴b=0，
∴f（x）=x²．
∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²的图象上，
∴S_n=n²．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时，a₁=S₁=1也符合上式，
∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）∵b_n=2ⁿ+a_n=2ⁿ+2n-1．
∴T_n=

2(1-2n)

1-2

+

(1+2n-1)

2

×n=2ⁿ⁺¹+n²-2．

点评：本小题主要考查偶函数的性质、数列通项公式的求法及数列前n项和求法中的分组求和、公式求和法，考查了学生运算求解能力和函数与方程思想、分类与整合思想等．