Question

已知 a²+b²+c²=1，求证：（a+b+c）²≤3．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题

分析：利用a²+b²+c²=1及重要不等式a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，可求得2ab+2ac+2bc≤2，从而易证（a+b+c）²≤3．

解答： 证明：∵a²+b²≥2ab，
b²+c²≥2bc，
a²+c²≥2ac，
∴2ab+2ac+2bc≤2（a²+b²+c²）；
又a²+b²+c²=1，
∴2ab+2ac+2bc≤2，
∴（a²+b²+c²）+2ab+2ac+2bc≤3，
即（a+b+c）²≤3．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查重要不等式a²+b²≥2ab等的应用，考查综合法及推理论证的能力，属于中档题．