Question

在锐角三角形ABC中，BC=1，AB=

2

，sin（A+C）=

14

4

，
（Ⅰ）求AC的值；
（Ⅱ）求sin（2A-

π

3

）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）先求得sinB=sin（A+C）的值，可得cosB=

1-sin2B

 的值，再由余弦定理求得AC的值．
（Ⅱ）由正弦定理求得sinA的值，可得cosA=

1-sin2A

 的值，利用二倍角公式求得sin2A和cos2A的值，再根据sin（2A-

π

3

）=sin2Acos

π

3

-cos2Asin

π

3

，计算求得结果．

解答： 解：（Ⅰ）锐角三角形ABC中，sinB=sin（A+C）=

14

4

，
∴cosB=

1-sin2B

=

2

4

，
由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=2+1-2

2

×1×

2

4

=2，
∴AC=

2

．
（Ⅱ）锐角三角形ABC中，由正弦定理可得

BC

sinA

=

AC

sinB

，即

1

sinA

=

2

14 4

，
求得sinA=

7

4

，∴cosA=

1-sin2A

=

3

4

，
∴sin2A=2sinAcosA=

3 7

8

，
cos2A=2cos²A-1=

1

8

∴sin（2A-

π

3

）=sin2Acos

π

3

-cos2Asin

π

3

=

3 7

8

×

1

2

-

1

8

×

3

2

=

3 7 - 3

16

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．