Question

如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF=EF；
（2）若PB=BC=3

2

，求PA的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；
（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线，即可求出PA的长．

解答： （1）证明：∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，
∴EB⊥BC，又∵AD⊥BC，∴AD∥BE，
∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴

BF

DG

=

EF

AG

，
∵G是AD的中点，∴DG=AG，∴BF=EF；
（2）解：连结AO，AB．
∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，
在Rt△BAE中，由（1）知F是斜边BE的中点，
∴AF=FB=EF，∴∠FBA=∠FAB
又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，
∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，
∴PA是圆O的切线．
∴PA²=PB•PC=3

2

•6

2

=36，
∴PA=6．

点评：本题着重考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质和圆的切线判定定理等知识，属于中档题．