Question

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b（tanA+tanB）=2ctanB．
（1）求角A；
（2）若a=2$\sqrt{7}$，c=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA=$\frac{1}{2}$，可得A=$\frac{π}{3}$；
（2）由正弦定理可得sinC，再由同角三角函数基本关系可得cosC，再由两角和的正弦公式可得sinB，代入三角形的面积公式计算可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中b（tanA+tanB）=2ctanB，
∴由正弦定理可得sinB（tanA+tanB）=2sinCtanB，
∴sinB（tanA+tanB）=2sinC•$\frac{sinB}{cosB}$，
∴cosB（tanA+tanB）=2sinC，
∴cosB（$\frac{sinA}{cosA}$+$\frac{sinB}{cosB}$）=2sinC，
∴cosB•$\frac{sinAcosB+cosAsinB}{cosAcosB}$=2sinC，
∴cosB•$\frac{sin（A+B）}{cosAcosB}$=$\frac{sinC}{cosA}$=2sinC，
解得cosA=$\frac{1}{2}$，A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵a=2$\sqrt{7}$，c=2，A=$\frac{π}{3}$，∴C＜A，
∴由正弦定理可得sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
∴cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{5\sqrt{7}}{14}$+$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{21}}{14}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×2\sqrt{7}×2×\frac{3\sqrt{21}}{14}$=3$\sqrt{3}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属中档题．