Question

10．在8件获奖作品中，有3件一等奖，有5件二等奖，从这8件作品中任取3件．
（1）求取出的3件作品中，一等奖多于二等奖的概率；
（2）设X为取出的3件作品中一等奖的件数，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设A为事件“取出的3件产品中，一等奖多于二等奖”，利用互斥事件加法公式能求出取出的3件作品中，一等奖多于二等奖的概率．
（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设A为事件“取出的3件产品中，一等奖多于二等奖”，
依题意，则有P（A）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{5}^{1}+{C}_{3}^{3}{C}_{5}^{0}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15+1}{56}=\frac{2}{7}$，
∴取出的3件作品中，一等奖多于二等奖的概率为$\frac{2}{7}$．
（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{5}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{5}{28}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{5}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{56}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{56}$，
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{28}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{56}$

∴EX=$0×\frac{5}{28}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{1}{56}$=$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．