Question

8．若函数f（x）=21n（x+1）-1nax在其定义域内有且只有一个零点，则实数a的取值集合为（　　）

• A． |4|
• B． （-∞，4]
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，0）∪{4}

Answer 1

分析 化简可得（x+1）²=ax在（-1，+∞）上有且只有一个解，从而讨论解得即可．

解答 解：∵函数f（x）=21n（x+1）-1nax在其定义域内有且只有一个零点，
∴21n（x+1）=1nax有且只有一个解，
∴（x+1）²=ax在（-1，+∞）上有且只有一个解，
∵$\frac{1}{a}$=$\frac{x}{（x+1）^{2}}$=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$=-（$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
∴a＜0或a≥4，
①当a＜0时，作函数y=21n（x+1）与y=1nax的图象如下，

②当a=4时，（x+1）²=4x的解为x=1（成立），
③当a＞4时，（x+1）²=ax可化为
x²-（a-2）x+1=0，
△=（a-2）²-4＞0，
且a-2＞0，1＞0，
故（x+1）²=ax有两个不同的正根；
故实数a的取值集合为（-∞，0）∪{4}，
故选：D．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及分类讨论的应用．