Question

13．若函数f（x）的定义域为D，任取x₁、x₂∈D，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，则称f（x）为D上的“收缩”函数．）
（1）判断f（x）=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x在[-1，1]上是否为“收缩”函数，并说明理由；
（2）是否存在k∈R，使f（x）=k$\sqrt{{x}^{2}+1}$在R上位“收缩“函数，若存在，求k的取值范围，若不存在，说明理由；
（3）若D=[0，1]，f（0）=f（1），且f（x）为”收缩“函数，?x₁、x₂∈D，|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{1}{2}$能否恒成立并说明理由？

Answer 1

分析 f（x）为D上的“收缩”函数?函数f（x）的定义域为D，任取x₁、x₂∈D，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，当x₁≠x₂时，等价于|k|≤1，即可判断出结论．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{4}$（x+1）²-$\frac{1}{4}$，∴函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
∴任取x₁、x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|=f（1）-f（-1）=1≤|1-（-1）=2，因此函数f（x）为“收缩”函数．
（2）f′（x）=$\frac{kx}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，则|f′（x）|=$\frac{|kx|}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≤$\frac{|k|}{\sqrt{2}}$≤1，因此只要|k|$≤\sqrt{2}$即可，∴k∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．
（3）∵f（x）为“收缩”函数，D=[0，1]，任取x₁、x₂∈D，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．当x₁≠x₂时，|k_AB|≤1．例如取f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+x}$x∈D，则$|f（0）-f（\frac{1}{2}）|$=1≤$\frac{1}{2}$不成立．因此|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{1}{2}$不恒成立．

点评 本题考查了导数的几何意义、新定义“收缩函数”，考查了变形能力、数形结合与计算能力，属于中档题．