Question

3．已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=60°，$\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}$=m•$\overrightarrow{OA}$，则m的值为（　　）

• A． -$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． -1
• D． 1

Answer 1

分析 作出图形，取AB中点D，并连接OD，从而有OD⊥AB，而$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}$，可设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，然后在$\frac{cosB}{sinC}•\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}=m•\overrightarrow{OA}$的两边同时乘以$\overrightarrow{AB}$，进行数量积的运算便可得到$\frac{cosB}{sinC}•{c}^{2}+\frac{cosC}{sinB}•bccosA=-\frac{m}{2}•{c}^{2}$，由正弦定理即可得到$cosB+cosCcosA=-\frac{m}{2}•sinC$，从而解出$m=\frac{-2（cosB+cosCcosA）}{sinC}$，而cosB=-cos（A+C），这样便可求出m=-2sinA，从而便得出m的值．

解答 解：如图，取AB中点D，则$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}$，OD⊥AB；
∴$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{AB}=0$；
设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；
由$\frac{cosB}{sinC}•\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}=m•\overrightarrow{OA}$得，$\frac{cosB}{sinC}•\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}=m（\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}）$；
两边同乘以$\overrightarrow{AB}$得：$\frac{cosB}{sinC}•{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$m（\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}）•\overrightarrow{AB}$；
即$\frac{cosB}{sinC}•{c}^{2}+\frac{cosC}{sinB}•bccosA=-\frac{m}{2}•{c}^{2}$；
∴$\frac{cosB}{sinC}•c+\frac{cosC}{sinB}•bcosA=-\frac{m}{2}•c$；
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2r$，∴b=2rsinB，c=2rsinC，代入上式整理得：
$cosB+cosCcosA=-\frac{m}{2}•sinC$；
∴$m=\frac{-2（cosB+cosCcosA）}{sinC}$=$\frac{-2[-cos（A+C）+cosCcosA]}{sinC}$=-2sinA；
又∠A=60°；
∴$m=-2sin60°=-\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 考查向量加法的几何意义，向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，正弦定理，两角和的余弦公式．