Question

13．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$（a≠0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若{x|f（x）＜0}⊆（0，e${\;}^{-\frac{1}{2}}$），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间．
（2）讨论a的取值范围，求出不等式f（x）＜0的解集，结合集合的关系进行求解即可．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
则函数的导数f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，（x＞0），
当a＜0时，则f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减；
若a＞0时：令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递增．
（2）若a＜0，则函数在（0，+∞）递减，且当x→0时，f（x）→+∞，则不满足条件{x|f（x）＜0}⊆（0，e${\;}^{-\frac{1}{2}}$），
若a＞0，在f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递增．
则当x=$\frac{1}{a}$时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时f（$\frac{1}{a}$）=aln$\frac{1}{a}$+a=-alna+a=-a（lna-1）=a（1-lna），
①若f（$\frac{1}{a}$）=a（1-lna）＞0，即0＜a＜e时，{x|f（x）＜0}=∅⊆（0，e${\;}^{-\frac{1}{2}}$），满足条件，
②若f（$\frac{1}{a}$）=a（1-lna）=0，即a=e时，{x|f（x）＜0}={$\frac{1}{e}$}⊆（0，e${\;}^{-\frac{1}{2}}$），满足条件，
③若f（$\frac{1}{a}$）=a（1-lna）＜0，即a＞e时，0＜$\frac{1}{a}$＜1，
∵f（1）=1＞0，∴f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）递增．
∴当x≥1时，f（x）＞0，
∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），∴{x|f（x）≤0}⊆（0，e${\;}^{-\frac{1}{2}}$），成立，
综上a＞0．

点评 本题主要考查函数单调性和单调区间的判断，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．要注意对参数进行分类讨论．