Question

12．若函数f（x）=x²+ax+$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{3}$，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-1，0]
• B． [0，$\frac{25}{3}$]
• C． [$\frac{25}{3}$，+∞）
• D． [9，+∞）

Answer 1

分析 函数f（x）=x²+ax+$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{3}$，+∞）上是增函数，则其导函数在[$\frac{1}{3}$，+∞）上是非负值，又因导函数为递增函数，只需最小值非负即可．

解答 解：f（x）=x²+ax+$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{3}$，+∞）上是增函数，
∴f'（x）=2x+a-$\frac{1}{{x}^{2}}$在[$\frac{1}{3}$，+∞）上是非负值，
∵f'（x）=2x+a-$\frac{1}{{x}^{2}}$在[$\frac{1}{3}$，+∞）上递增，
∴f'（$\frac{1}{3}$）=$\frac{2}{3}$-9+a≥0，
∴a≥$\frac{25}{3}$．
故选：C．

点评 考查了导函数的应用，属于基础题型．