Question

4．已知f（x）=ax²-（a+2）x+2．
（1）若实数a＜0，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；
（2）若“$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{4}$”是“f（x）+2x＜0”的充分条件，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）=ax²-（a+2）x+2=（ax-2）（x-1），a＜0，可得ax²-（a+2）x+2=0的两根为$\frac{2}{a}$，且$\frac{2}{a}$＜1，即可得出．
（2）f（x）+2x＜0化为：g（x）=ax²-ax+2＜0，由“$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{4}$”是“f（x）+2x＜0”的充分条件，可得$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）＜0}\\{g（\frac{3}{4}）＜0}\end{array}\right.$，又a＞0，解得a范围．

解答 解：（1）f（x）=ax²-（a+2）x+2=（ax-2）（x-1），∵a＜0，∴ax²-（a+2）x+2=0的两根为$\frac{2}{a}$，且$\frac{2}{a}$＜1．
∴关于x的不等式f（x）＞0的解集为$（\frac{2}{a}，1）$．
（2）f（x）+2x＜0化为：g（x）=ax²-ax+2＜0，
∵“$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{4}$”是“f（x）+2x＜0”的充分条件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）＜0}\\{g（\frac{3}{4}）＜0}\end{array}\right.$，又a＞0，解得a＞$\frac{32}{3}$．
∴正实数a的取值范围是$（\frac{32}{3}，+∞）$．

点评 本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．