Question

14．如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，CD=3，∠D=2∠B且cosB=$\frac{\sqrt{6}}{4}$
（Ⅰ）求△ACD的面积；
（Ⅱ）若∠ACB=60°，求AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意和二倍角公式可得cosD，进而可得sinD，代入面积公式S=$\frac{1}{2}$•AD•CD•sinD，计算可得；
（II）在△ACD中，由余弦定理可得AC，进而在△ABC中由正弦定理可得AB．

解答 解：（Ⅰ）∵∠D=2∠B，∴cosD=2cos²B-1=2×（$\frac{\sqrt{6}}{4}$）²-1=-$\frac{1}{4}$，
∵∠D∈（0，π），∴sinD=$\sqrt{1-co{s}^{2}D}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∵AD=2，CD=3，∴△ACD的面积S=$\frac{1}{2}$•AD•CD•sinD=$\frac{3}{4}$$\sqrt{15}$；
（II）在△ACD中，由余弦定理可得AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}-2AD•CD•cosD}$
=$\sqrt{9+4-2×3×2×（-\frac{1}{4}）}$=4
在△ABC中，由正弦定理可得$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{AB}{sin∠ACB}$，
∴AB=$\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{4}}$=$\frac{4\sqrt{30}}{5}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属中档题．