Question

6．将（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ（n∈N₊）的展开式中x^-4的系数记为a_n，则$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$=$\frac{2015}{1008}$．

Answer 1

分析 由题意得到a_n=C_n²=$\frac{n（n-1）}{2}$，再采取裂项求和即可求出．

解答 解：a_n=C_n²=$\frac{n（n-1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n-1）}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）=2×$\frac{2015}{2016}$=$\frac{2015}{1008}$，
故答案为：$\frac{2015}{1008}$．

点评 本题考查了二次式定理的展开式的系数以及裂项求和，属于基础题．