Question

11．如图所示，已知几何体ABCD-A₁B₁C₁D₁是平行六面体．
（1）化简$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，并在图上标出结果；
（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC₁B₁对角线BC₁上的点，且C₁N=$\frac{1}{4}$C₁B，设$\overrightarrow{MN}$=α$\overrightarrow{AB}$+β$\overrightarrow{AD}$+γ$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，求α，β，γ的值．

Answer 1

分析 （1）在几何体中作出向量$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$即可；
（2）根据空间图形，用向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$和$\overrightarrow{{AA}_{1}}$表示出$\overrightarrow{MN}$即可．

解答 解：（1）向量$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，是在AB上截取AP=$\frac{2}{3}$AB，
过点P作PQ∥BC，交CD于点Q，
再过点Q作QR∥CC₁，且QR=$\frac{1}{2}$CC₁，连接AR，
则$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{QR}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{AA}_{1}}$，
$\overrightarrow{AR}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，如图所示；

（2）M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC₁B₁对角线BC₁上的点，且C₁N=$\frac{1}{4}$C₁B，
∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{BN}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{{BC}_{1}}$
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{DA}$+$\overrightarrow{DC}$）+$\frac{3}{4}$（$\overrightarrow{{BB}_{1}}$+$\overrightarrow{BC}$）
=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{{AA}_{1}}$，
又$\overrightarrow{MN}$=α$\overrightarrow{AB}$+β$\overrightarrow{AD}$+γ$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
∴α=$\frac{1}{2}$，β=$\frac{1}{4}$，γ=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，是基础题目．