Question

16．如图，AD⊥平面APB，AD∥BC，AP⊥PB，R、S分别是线段AB、PC的中点．
（1）求证：RS∥平面PAD；
（2）若AB=BC=2AD=2AP，点Q在线段AB上，且BQ=3AQ，求证：平面DPQ⊥平面ADQ．

Answer 1

分析 （1）取PB中点E，连结RE，SE，则可利用中位线定理证明SE∥平面ADP，RE∥平面ADP，故而平面SRE∥平面ADP，于是SR∥平面ADP；
（2）假设AQ=1，则可根据线段的长度关系得出AP=2，AB=4，从而由余弦定理求出PQ，利用勾股定理的逆定理证出PQ⊥AQ，根据AD⊥平面APB得AD⊥PQ，故而PQ⊥平面ADQ，从而平面DPQ⊥平面ADQ．

解答 证明：（1）取PB中点E，连结RE，SE，则SE是△PBC的中位线，RE是△APB的中位线，
∴SE∥BC，又∵AD∥BC，∴AD∥SE，
∵AD?平面ADP，SE?平面ADP，
∴SE∥平面ADP，
同理可得：RE∥平面ADP，
又∵SE?平面SRE，RE?平面SRE，SE∩RE=E，
∴平面SRE∥平面ADP，∵SR?平面SRE，
∴SR∥平面ADP．
（2）设AQ=1，∵AB=2AP，BQ=3AQ，
∴AB=4，AP=2，
∵AP⊥PB，∴cos∠PAB=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{1}{2}$．∴PQ=$\sqrt{A{P}^{2}+A{Q}^{2}-2AP•AQcos∠PAB}$=$\sqrt{3}$．
∴AQ²+PQ²=AP²，∴PQ⊥AQ．
∵AD⊥平面APB，PQ?平面APB，∴AD⊥PQ，
又∵AD?平面ADQ，AQ?平面ADQ，AD∩AQ=A，
∴PQ⊥平面ADQ，∵PQ?平面PDQ，
∴平面DPQ⊥平面ADQ．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面垂直的性质，寻找线段的垂直关系是解题关键，属于中档题．