Question

5．已知曲线E₁，E₂的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ•cos（θ-$\frac{π}{4}$）=4，绕极点将曲线E₁逆时针旋转角α，α∈（0，$\frac{π}{2}$），得到曲线E₃．
（1）当α=$\frac{π}{6}$时，求曲线E₃的极坐标方程；
（2）当E₃与E₂有且仅有一个公共点时，求α．

Answer 1

分析 （1）求出E₁的普通方程，和旋转后的普通方程，再转化为极坐标方程；
（2）分别求出E₂，E₃的普通方程，根据公共点个数判断位置关系，列出方程解出a．

解答 解：（1）∵曲线E₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，即ρ²-4ρcosθ=0，
∴曲线E₁的普通方程为x²+y²-4x=0．即（x-2）²+y²=4．
将E₁绕极点逆时针$\frac{π}{6}$后得到E₃，∴E₃的圆心为（$\sqrt{3}$，1），半径为2．
∴E₃的普通方程为（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=4．即x²+y²-2$\sqrt{3}$x-2y=0，
∴E₃的极坐标方程为ρ²-2$\sqrt{3}$ρcosθ-2ρsinθ=0，即ρ=4cos（θ-$\frac{π}{6}$）．
（2）∵E₂的极坐标方程为ρ•cos（θ-$\frac{π}{4}$）=4，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ-4=0，
∴E₂的普通方程为$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$y-4=0，即x+y-4$\sqrt{2}$=0．
E₃的圆心坐标为（2cosα，2sinα），半径为2，
∴当E₃与E₂有且仅有一个公共点时，E₂与E₃相切，
∴$\frac{|2cosα+2sinα-4\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=2，∴sinα+cosα=$\sqrt{2}$或sinα+cosα=3$\sqrt{2}$（舍）．
∴两边平方得sin2α=1，∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴α=$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了极坐标方程与普通方程的互化，简单曲线的极坐标方程，属于基础题．