Question

14．已知b＞a＞0，ab=2，则$\frac{a^2+b^2}{a-b}$的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-4]
• B． （-∞，-4）
• C． （-∞，-2]
• D． （-∞，-2）

Answer 1

分析 b＞a＞0，ab=2，可得b＞$\sqrt{2}$＞a＞0．则$\frac{a^2+b^2}{a-b}$=$\frac{{b}^{4}+4}{2b-{b}^{3}}$=f（b），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：∵b＞a＞0，ab=2，
∴b＞$\sqrt{2}$＞a＞0．
则$\frac{a^2+b^2}{a-b}$=$\frac{{b}^{4}+4}{2b-{b}^{3}}$=f（b），
f′（b）=$\frac{-{b}^{6}+6{b}^{4}+12{b}^{2}-8}{（2b-{b}^{3}）^{2}}$=$\frac{-（{b}^{2}+2）[{b}^{2}-（4+2\sqrt{3}）][{b}^{2}-（4-2\sqrt{3}）]}{（2b-{b}^{3}）^{2}}$，
可得：b∈$（\sqrt{2}，\sqrt{3}+1）$时，函数f（b）单调递增；b∈$（\sqrt{3}+1，+∞）$时，函数f（b）单调递减．
因此f（b）在b=$\sqrt{3}$+1$（a=\sqrt{3}-1）$时取得最大值，
∴f（b）≤$f（\sqrt{3}+1）$=-4．
∴$\frac{a^2+b^2}{a-b}$的取值范围是（-∞，-4]．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．