Question

2．已知三棱锥O-ABC，OA=4，OB=5，OC=3，∠AOB=∠BOC=60°，∠COA=90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求：直线MN与AC所成的角余弦值．

Answer 1

分析 取AB中点E，连结EN，ME，MC，得到∠MNE是直线MN与AC所成的角，计算MB，MC，BC，利用“平行四边形中对角线的平方和等于四条边的平方和”，可得MN，由此利用余弦定理能求出结果．

解答 解：OA=5，OC=3，∠COA=90°，由勾股定理，AC=$\sqrt{34}$，
取AB中点E，连结EN，ME，MC，
则ME和EN分别是三角形AOB和三角形ABC中位线，ME=2，EN=$\frac{\sqrt{34}}{2}$，
在三角形OBM中，根据余弦定理，MB=$\sqrt{16+\frac{25}{4}-2•\frac{5}{2}•4•\frac{1}{2}}$=$\frac{7}{2}$，
在三角形OMC中，根据勾股定理，MC=$\sqrt{\frac{25}{4}+9}$=$\frac{\sqrt{61}}{2}$，
在三角形OBC中，根据余弦定理，BC=$\sqrt{9+16-2•3•4•\frac{1}{2}}$=$\sqrt{13}$，
在三角形MBC中，根据“平行四边形中对角线的平方和等于四条边的平方和”，
可得4MN²+13=2（$\frac{49}{4}$+$\frac{61}{4}$），
∴MN=$\frac{\sqrt{42}}{2}$．
∵M，N分别是棱OA，BC的中点，取AB中点E，
∴NE∥AC，∴∠MNE是直线MN与AC所成的角，
在△MNE中，由余弦定理得：
cos∠MNE=$\frac{M{N}^{2}+E{N}^{2}-M{E}^{2}}{2MN•NE}$=$\frac{\frac{42}{4}+\frac{34}{4}-4}{2×\frac{\sqrt{42}}{2}×\frac{\sqrt{34}}{2}}$=$\frac{15}{\sqrt{357}}$=$\frac{5\sqrt{357}}{119}$．

点评 本题考查三棱锥，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．