Question

8．已知单调递增数列{a_n}满足a_n=3ⁿ-λ•2ⁿ（其中λ为常数，n∈N⁺），则实数λ的取值范围是λ＜3．

Answer 1

分析 单调递增数列{a_n}满足a_n=3ⁿ-λ•2ⁿ（其中λ为常数，n∈N⁺），可得：a_n＜a_n+1，化为：λ＜$2×（\frac{3}{2}）^{n}$，利用数列的单调性即可得出．

解答 解：∵单调递增数列{a_n}满足a_n=3ⁿ-λ•2ⁿ（其中λ为常数，n∈N⁺），
∴a_n＜a_n+1，
∴3ⁿ-λ•2ⁿ＜3ⁿ⁺¹-λ•2ⁿ⁺¹，
化为：λ＜$2×（\frac{3}{2}）^{n}$，
由于数列$\{2×（\frac{3}{2}）^{n}\}$单调递增，∴$2×（\frac{3}{2}）^{n}$≥$2×\frac{3}{2}$=3．
∴λ＜3．
故答案为：λ＜3．

点评 本题考查了递推关系的应用、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．