Question

18．已知f（x）=sinx（sinx+cosx）+cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+1，利用周期公式可求最小正周期，由正弦函数的图象和性质即可得解最大值．
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的单调递减区间．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）∵f（x）=sinx（sinx+cosx）+cos²x
=sin²x+sinxcosx+cos²x
=$\frac{1}{2}$sin2x+1，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，最大值为：$\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$；…5分
（2）∵f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+1，
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得f（x）的单调递减区间为：[kπ+$\frac{π}{4}$，kπ$+\frac{3π}{4}$]，k∈Z．…10分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．