Question

10．如图，已知A（1，1），B（5，4），C（2，5），设向量$\overrightarrow{a}$是与向量$\overrightarrow{AB}$垂直的单位向量．
（1）求单位向量$\overrightarrow{a}$的坐标；
（2）求向量$\overrightarrow{AC}$在向量$\overrightarrow{a}$上的投影；
（3）求△ABC的面积S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow{a}$=（x，y），根据向量的数量积和向量的模得到$\left\{\begin{array}{l}{4x+3y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解方程得，
（2）设向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，在$\overrightarrow{a}$上的投影为h，根据向量的投影即可求出．
（3）根据三角形的面积公式即可求出．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{a}$=（x，y），依题意有，
$\overrightarrow{AB}$=（4，3），|$\overrightarrow{AB}$|=5，|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AB}$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{AB}$=0，
有$\left\{\begin{array}{l}{4x+3y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，或${\;}_{\;}^{\;}$$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{5}}\\{y=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
所以，$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）或$\overrightarrow{a}$=（$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），
（2）设向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，在$\overrightarrow{a}$上的投影为h，
则h=|$\overrightarrow{AC}$|cosθ=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=（1，4），
当$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）时，h=1×（-$\frac{3}{5}$）+4×$\frac{4}{5}$=$\frac{13}{5}$，
当$\overrightarrow{a}$=（$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$）时，h=1×$\frac{3}{5}$+4×（-$\frac{4}{5}$）=-$\frac{13}{5}$，
（3）S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$||h|=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{13}{5}$=$\frac{13}{2}$．

点评 本题考查了向量的数量积运算和向量的模的计算，以及向量的投影和三角形的面积．