Question

20．已知a是方程x+lgx=4的根，b是方程x+10^x=4的根，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²+（a+b-4）x，若对任意x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A． [$\sqrt{2}$，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （0，2]
• D． [-$\sqrt{2}$，-1]∪[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 根据反函数的性质求出a+b=4，然后根据函数奇偶性的性质求出函数f（x）的解析式，判断函数的单调性，利用参数分离法将不等式进行转化进行求解即可．

解答 解：由程x+lgx=4得lgx=4-x，
由x+10^x=4得10^x=4-x，
记f（x）=lgx，则其反函数f^-1（x）=10^x，
它们的图象关于直线y=x轴对称，
根据题意，a，b为f（x），f^-1（x）的图象与直线y=4-x交点A，B的横坐标，
由于两交A，B点关于直线y=x对称，
所以，B点的横坐标β就是A点的纵坐标，即A（a，b），
将A（a，b）代入直线y=4-x得，a+b=4，
则当x≥0时，f（x）=x²+（a+b-4）x=x²，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴若x＜0，则-x＞0，
则f（-x）=x²=-f（x），
即f（x）=-x²，x＜0，
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{x≥0}\\{-{x}^{2}，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
则函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
若对任意x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，
即若对任意x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥f（$\sqrt{2}$x）恒成立，
则x+t≥$\sqrt{2}$x恒成立，
则t≥（$\sqrt{2}$-1）x，
则x≤$\frac{t}{\sqrt{2}-1}$=（$\sqrt{2}$+1）t，
∵x∈[t，t+2]，
∴t+2≤（$\sqrt{2}$+1）t，
即2≤$\sqrt{2}$t
则t≥$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
故选：A

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据反函数的性质求出a+b=4，求出函数的解析式，利用参数分离法进行求解是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．