Question

10．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面AA₁C₁C是矩形，侧面AA₁C₁C⊥侧面AA₁B₁B，且AB=4AA₁=4，∠BAA₁=60°，D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）求证：DA₁⊥平面AA₁C₁C．

Answer 1

分析 （1）连结A₁C交AC₁于F，取B₁C中点E，连结DE，EF．则可利用中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形，得出AF∥CD，从而证明AC₁∥平面CDB₁．
（2）求出AA₁和AD的长，使用余弦定理求出A₁D，由勾股定理的逆定理证出A₁D⊥AA₁，由面面垂直可得出AC⊥平面ABB₁A₁，进而得出AC⊥A₁D，得出DA₁⊥平面AA₁C₁C．

解答 证明：（1）连结A₁C交AC₁于F，取B₁C中点E，连结DE，EF．
∵四边形AA₁C₁C是矩形，∴F是A₁C的中点，
∴EF∥A₁B₁，EF=$\frac{1}{2}$A₁B₁，
∵四边形ABB₁A₁是平行四边形，D是AB的中点，
∴AD∥A₁B₁，AD=$\frac{1}{2}$A₁B₁，
∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥DE，即AC₁∥DE．
又∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（2）∵AB=4AA₁=4，D是AB中点，∴AA₁=1，AD=2，
∵∠BAA₁=60°，∴A₁D=$\sqrt{A{D}^{2}+A{{A}_{1}}^{2}-2AD•A{A}_{1}cos60°}$=$\sqrt{3}$．
∴AA₁²+A₁D²=AD²，∴A₁D⊥AA₁，
∵侧面AA₁C₁C⊥侧面AA₁B₁B，侧面AA₁C₁C∩侧面AA₁B₁B=AA₁，AC⊥AA₁，AC?平面AA₁C₁C，
∴AC⊥平面AA₁B₁B，∵A₁D?平面AA₁B₁B，
∴AC⊥A₁D，又∵AA₁?平面AA₁C₁C，AC?平面AA₁C₁C，AC∩AA₁=A，
∴DA₁⊥平面AA₁C₁C．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判断，面面垂直的性质，属于中档题．