Question

11．如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为棱C₁D₁，C₁C的中点，以下四个结论中正确的是（　　）

• A． 直线MN与DC₁互相垂直
• B． 直线AM与BN互相平行
• C． 直线MN与BC₁所成角为90°
• D． 直线MN垂直于平面A₁BCD₁

Answer 1

分析 在A中，由MN∥D₁C，D₁C⊥DC₁，得直线MN与DC₁互相垂直，故A正确；在B中，直线AM与BN相交；在C中：直线MN与BC₁所成角为60°；在D中，MN∥平面A₁BCD₁．

解答 解：在A中：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为棱C₁D₁，C₁C的中点，
∴MN∥D₁C，
在B中：∵D₁C⊥DC₁，∴直线MN与DC₁互相垂直，故A正确；
取DD₁中点E，连结AE，则BN∥AE，由AE∩AM=A，得直线AM与BN相交，故B错误；
在C中：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则M（0，1，2），N（0，2，1），B（2，2，0），C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{MN}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，2），
cos＜$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{MN}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{2}×\sqrt{8}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴直线MN与BC₁所成角为60°，故C错误；
在D中：∵$\overrightarrow{MN}$=（0，1，-1），A₁（2，0，2），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，2，-2），
∴$\overrightarrow{MN}$∥$\overrightarrow{{A}_{1}B}$，∵MN?平面A₁BCD₁，A₁B?平面A₁BCD₁，
∴MN∥平面A₁BCD₁，故D错误．
故选：A．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．