Question

6．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，a₁=2，且a₁，a₂，a₃-8成等差数列，数列{a_nb_n}的前n项和为$\frac{（2n-1）•3^n+1}{2}$．
（1）分别求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{$\frac{1}{a_n}$}的前n项和为S_n，已知?_n∈N^*，S_n≤m恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过a₁=2，且a₁，a₂，a₃-8成等差数列计算可知q=3，进而可知a_n=2•3^n-1，利用a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=$\frac{（2n-1）•3^n+1}{2}$与a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=$\frac{（2n-3）•{3}^{n-1}+1}{2}$作差、整理可知b_n=n（n≥2），验证当n=1时成立即可；
（2）通过（1）可知，数列{$\frac{1}{a_n}$}是首项为$\frac{1}{2}$、公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，利用等比数列的求和公式计算可知S_n=$\frac{3}{4}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＜$\frac{3}{4}$，进而可得m的最小值．

解答 解：（1）∵a₁=2，且a₁，a₂，a₃-8成等差数列，
∴2a₂=a₁+a₃-8，即2a₁q=a₁+a₁q²-8，
∴q²-2q-3=0，
解得：q=3或q=-1（舍），
∴a_n=2•3^n-1，
∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=$\frac{（2n-1）•3^n+1}{2}$，
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=$\frac{（2n-3）•{3}^{n-1}+1}{2}$，
两式相减得：a_nb_n=2n•3^n-1（n≥2），
∴b_n=$\frac{2n•{3}^{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n•{3}^{n-1}}{2•{3}^{n-1}}$=n（n≥2），
又∵b₁=$\frac{{a}_{1}{b}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{\frac{3+1}{2}}{2}$=1满足上式，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=n；
（2）由（1）可知，数列{$\frac{1}{a_n}$}是首项为$\frac{1}{2}$、公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{4}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＜$\frac{3}{4}$，
∴满足条件的实数m的最小值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．