Question

18．如图，三个半径均为r的小球放在一个半球形的碗中，若三个小球的最高点恰好与碗的上沿处于同一水平面．已知这个碗的半径R=3+$\sqrt{21}$，则r=3．

Answer 1

分析 根据三个小球和碗的相切关系，作出对应的正视图和俯视图，建立球心和半径之间的关系即可得到碗的半径．

解答 解：分别作出空间几何体的正视图和俯视图如则俯视图中，球心O（也是圆心O）是三个小球与半圆面的三个切点的中心，
∵小球的半径为r，
∴三个球心之间的长度为2r，
即OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r．
在正视图中，球心B，球心O（同时也是圆心O），
和切点A构成直角三角形，

则OA²+AB²=OB²，其中OB=3+$\sqrt{21}$-r，AB=r，
∴（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r）²+r²=（3+$\sqrt{21}$-r）²，
∴r=3
故答案为：3．

点评 本题主要考查了球的相切问题 的计算，根据条件作出正视图和俯视图，确定球半径之间的关系是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．