Question

10．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有三个面的面积分别为12，20，15，则其外接球球面上的点到平面ABCD的最大距离为（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}+5}{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}+3}{2}$
• D． $\frac{5\sqrt{2}+5}{2}$

Answer 1

分析 设长方体棱长分别为：a，b，c，由长方体性质求出b=3，a=4，c=5，从而求出长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球半径，由此能求出其外接球球面上的点到平面ABCD的最大距离．

解答 解：设长方体棱长分别为：a，b，c，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有三个面的面积分别为12，20，15，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ab=12}\\{ac=20}\\{bc=15}\end{array}\right.$，解得b=3，a=4，c=5，
∴长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球半径r=$\frac{\sqrt{9+16+25}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴当AB=b=3，BC=a=4，AA₁=c=5，
其外接球球面上的点到平面ABCD的最大距离为：
d_max=r+$\frac{c}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}+5}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查正方体外接球球面上的点到平面ABCD的最大距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意长方体性质及外接球性质的合理运用．